domingo, 16 de octubre de 2016

Diciembre



02 DE DICIEMBRE DEL 2016
DERIVADAS PARCIALES

En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vetorial, geometría diferencial, física matemática, etc.


13 DE DICIEMBRE DEL 2016
 REGLA DE LA CADENA

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
 

Descripción de la regla

En términos intuitivos, cola si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si f\, es diferenciable en x\, y g\,es una función diferenciable en f(x)\,, entonces la función compuesta (g \circ f)(x) = g(f(x)) es diferenciable en x\, y
(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:
\frac {dg}{dx} = \frac {dg} {df} \frac {df}{dx}
donde \frac {dg} {df} indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.
 

Derivadas de orden superior

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:
\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}
\frac{d^2 f}{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}
\frac{d^3 f}{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}
\frac{d^4 f}{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}

 DERIVADAS DIRECCIONALES
Las Derivadas Parciales se caracterizan por la variación de la función a lo largo de las rectas paralelas.





Gradiente.
El Gradiente indica la dirección en la cual el campo de una función varia de manera más rápida y su módulo representa el ritmo de variación del vector.


16 DE DICIEMBRE DEL 2016 
PLANOS TANGENTES

Una de las ideas más importantes en el cálculo de una sola variable, es que a medida que
se acerca a un punto de la gráfica de una función derivable, la gráfica se vuelve indistinguible desde su tangente, y puede aproximarse a la función mediante una función lineal. Ahora se desarrollan ideas similares en tres dimensiones. A medida que se acerca hacia un punto sobre la superficie que es la gráfica de una función derivable de dos variables, la superficie se parece más y más a un plano, su plano tangente,y es posible aproximarse a la función mediante una función lineal de dos variables.
También se generaliza la idea de una diferencial a funciones de dos o más variables.





LA ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE


INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
 
 
 
diferenciales



20 de diciembre del 2016
TEOREMA DE APROXIMACION LINEAL

 

 

PUNTOS EXTREMOS

Observe las colinas y los valles en la gráfica de f mostrada en la figura 1. Hay dos puntos (a, b) donde f tiene un máximo local, es decir, donde es mayor f (a, b) que los valores cercanos de f (x, y). El mayor de estos valores es al máximo absoluto. Asimismo, f tiene dos mínimos locales, donde es más pequeña f (a, b) que los valores cercanos. El menor de estos dos valores es el mínimo absoluto.

DEFINICIÓN Una función de dos variables tiene un máximo relativo en a, b si cuando x, y está cerca de a, b. [Esto quiere decir que para todos los puntos x, y en algún disco con centro a, b.] El número fa, b recibe el nombre de valor máximo relativo. Si cuando x, y está cerca de a, b, entonces fa, b es un mínimo relativo en (a, b) y f (a, b) es un valor mínimo relativo.

MÍNIMO RELATIVO Y MÁXIMO RELATIVO

TEOREMA Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en a, b y las derivadas parciales de primer orden existen allí, entonces


CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
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